Bài toán con bướm

Bài toán con bướm

Đây là bài toán từng là cảm hứng để tôi viết bài "Tản mạn chuyện đời từ một bài toán", đăng trên Chuyên san Kỷ niệm 40 năm Trung học Đại Lộc - 2005. Nay vô tình tìm được bài viết với nhiều cách giải khác nhau. Chép lại để làm kỷ niệm.

LT.

Bài toán con bướm. Giả sử M là trung điểm của dây cung XY trên đường tròn tâm O. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng XY với hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng M là trung điểm của PQ.

Đọc thêm: Tản mạn chuyện đời từ một bài toán

Chúng ta thấy hình vẽ trên giống như hình một con bướm với hai cánh giao nhau tại điểm M. Đó là lý do tại sao bài toán này mang tên là bài toán con bướm.

Bài toán con bướm có rất nhiều cách chứng minh. Các cách chứng minh sau đây lấy từ hai bài báo:

• Leon Bankoff, The metamorphosis of the butterfly problem, Mathematics Magazine, vol. 60, no. 4, Oct 1987, p. 195-210.

• Greg Markowsky, Pascal's hexagon theorem implies the butterfly theorem, Mathematics Magazine, vol. 84, no. 1, Feb 2011, p. 56-62.

Bài toán 1. (Greg Markowsky, đăng trên Mathematics Magazine, 2011)

Giả sử IJ là một đường kính của đường tròn (O). M là một điểm trên IJ. Hai điểm U và V trên đường tròn gọi là hai điểm phản chiếu qua M nếu chúng ở về cùng một phía của IJ và ∠IMU=∠JMV. Chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề. Nếu U và V phản chiếu qua M và Z là giao điểm của IV và JU thì ZM vuông góc với IJ. 

(Gợi ý. Giả sử đường thẳng UM, VM cắt đường tròn tại V′, U′. Giả sử IV′ cắt JU′ tại Z′. Chứng minh U′, V′, Z′ đối xứng với U, V, Z qua IJ. Dùng định lý lục giác Pascal để chứng minh Z, M, Z′ thẳng hàng.)

Vẽ đường kính IJ đi qua M. Gọi E và F là hai điểm đối xứng của A và D qua đường thẳng IJ. Gọi K là giao điểm của IF và JC, L là giao điểm của IB và JE, Q′ là giao điểm của BC và EF. 

1. Chứng minh rằng C và F phản chiếu qua M; B và E phản chiếu qua M. 
2. Dùng bổ đề trên để chứng minh rằng M, K, L thẳng hàng và nằm trên đường thẳng XY. 
3. Dùng định lý lục giác Pascal để chứng minh rằng K, L, Q′ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng XY.
4. Chứng minh rằng Q=Q′, từ đó suy ra MP=MQ.

Bài toán 2. (đăng trên School Science and Mathematics, 1919)

Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.

1. Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác NPQ với các bộ điểm thẳng hàng {C,M,D}, {A,M,B}, và sử dụng phương tích, chứng minh rằng
   MQ2MP2=QB×QCPA×PD.
2. Sử dụng phương tích, chứng minh rằng
   MQ2MP2=MY2−MQ2MX2−MP2,
   từ đó suy ra MP=MQ.

Bài toán 3. (Richard Taylor, đăng trên The Gentleman's Diary, 1815)

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác APM cắt đường tròn (O) tại T. Đường thẳng TP, TM cắt đường tròn (O) lần lượt tại E, F.

1. Chứng minh rằng ba đường thẳng EB, XY, DF song song.
2. Chứng minh rằng hai tam giác MTD và MCF bằng nhau.
3. Chứng minh rằng hai tam giác MTP và MCQ bằng nhau, từ đó suy ra MP=MQ.

Bài toán 4. (W.G. Horner, đăng trên The Gentleman's Diary, 1815)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

1. Chứng minh rằng hai tam giác MBC và MDA đồng dạng.
2. Chứng minh rằng ∠MJQ=∠MIP.
3. Chứng minh rằng hai tam giác MOP và MOQ bằng nhau, từ đó suy ra MP=MQ.

Bài toán 5. (Leon Bankoff, đăng trên School Science and Mathematics, 1955)

Qua A vẽ đường thẳng song song với XY cắt đường tròn tại L.

1. Chứng minh rằng tam giác AML là tam giác cân.
2. Chứng minh rằng tứ giác MLCQ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. Chứng minh rằng hai tam giác MAP và MLQ bằng nhau, từ đó suy ra MP=MQ.

Nguồn: http://vuontoanblog.blogspot.com/2013/09/butterfly.html